Теорема Клапейрона

Формулировка теоремы Клапейрона: упругая работа внешней силы при статическом приложении равна половине произведения ее окончательного значения на соответствующее этой силе перемещение.

Теорема Клапейрона впервые была сформулирована французским ученым Клапейроном в 1852 г.

Доказательство теоремы Клапейрона

Определим работу, которую совершает сила , действующая, например, на балку, изображенную на рис. 15.1, а.

Будем считать, что нагрузка прикладывается к балке статически, то есть она медленно возрастает от нуля до заданной величины.

Пусть в некоторый момент сила, достигшая значения , вызвала в месте своего приложения прогиб балки, равный .

Увеличим это значение силы на бесконечно малую величину . Такое изменение нагрузки приведет к дополнительному прогибу . Очевидно, что элементарная дополнительная работа будет равна: .

Полная работа, совершенная внешней силой, определяется по формуле: .Для линейно деформируемой системы (график зависимости между прогибом и силой P для такой системы показан на рис. 15.1, б) прогиб балки пропорционален внешней нагрузке, то есть ,

где – коэффициент пропорциональности или перемещение от силы, равной единице . Коэффициент часто называют и податливостью системы.

Дифференцируя уравнение , найдем: .

Подставляя формулу в формулу и учитывая уравнение , получим: ,что и требовалось доказать. Полученное выражение соответствует теореме Клапейрона.