Решение типовых задач по сопромату.

Напряженное состояние в точке тела - пример решения задачи

Пример решения задачи напряженное состояние в точке тела – условие задачи

Дано кН/см2, кН/см2, кН/см2 (рис. 3.6, а). Найти главные напряжения , направления главных площадок и максимальное касательное напряжение .

Пример решения задачи напряженное состояние в точке тела – расчетная схема

Рис. 3.6

Решение примера задачи на напряженное состояние в точке тела

Напомним правила знаков для нормальных и касательных напряжений.

Нормальное напряжение, соответствующее растяжению, считается положительным, а сжатию – отрицательным.

Касательное напряжение считается положительным, если одновременно выполняются (или одновременно не выполняются) следующие два условия:

направление напряжения совпадает с положительным направлением соответствующей координатной оси;

внешняя нормаль к площадке, на которой оно возникает, направлена в ту же сторону, что и другая, соответствующая, координатная ось.

Определяем главные напряжения, возникающие на трех главных площадках, проходящих через рассматриваемую точку твердого тела

Для плоского напряженного состояния одно из главных напряжений, возникающее на площадке с нормалью x, равно нулю.

Вычисляем значения двух других главных напряжений:

кН/см2;

кН/см2.

Учитывая, что , окончательно имеем:

кН/см2, , кН/см2.

Делаем проверку ():

или ,

то есть верно.

Находим положение главных площадок

Углы и , определяющие положение двух взаимно перпендикулярных площадок, на которых возникают главные напряжения и , определяются из формулы

.

Отсюда: и .

Напомним, что угол считается положительным, если он отсчитывается от оси z против хода часовой стрелки.

Найденные углы (см. рис. 3.6, б) определяют и направления «действия» главных напряжений и .

Определяем наибольшее касательное напряжение, возникающее в рассматриваемой точке тела

кН/см2.

Оно «действует» на площадке, которая наклонена под углом к первой и третьей главным площадкам.

Пример задачи для самостоятельного решения – напряженное состояние в точке тела

Условие задачи "напряженное состояние в точке тела"

Из нагруженного твердого тела, находящегося в равновесии, около некоторой точки выделен элементарный параллелепипед со сторонами , и . Считается, что на двух его параллельных гранях с нормалью x нормальные и касательные напряжения отсутствуют, то есть напряженное состояние является плоским. Вместо объемного параллелепипеда, с целью упрощения, на рис. 3.5 показан плоский элемент: его проекция на плоскость . Штриховкой указана внутренняя область элемента. Требуется найти главные напряжения , направления главных площадок и максимальное касательное напряжение .

Исходные данные к задаче напряженное состояние в точке тела