Заработок на дому набором текстов

Лекция Гипотеза плоских сечений при изгибе

Гипотеза плоских сечений при изгибе

Гипотезу плоских сечений при изгибе можно объяснить на примере: нанесем на боковой поверхности недеформированной балки сетку, состоящую из продольных и поперечных (перпендикулярных к оси) прямых линий. В результате изгиба балки продольные линии примут криволинейное очертание, а поперечные практически останутся прямыми и перпендикулярными к изогнутой оси балки.

Формулировка гипотезы плоских сечения: поперечные сечения, плоские и перпендикулярные к оси балки до деформации, остаются плоскими и перпендикулярными к изогнутой оси после ее деформации.

Это обстоятельство свидетельствует: при изгибе выполняется гипотеза плоских сечений, как при растяжении и кручении

Помимо гипотезы плоских сечений принимается допущение: продольные волокна балки при ее изгибе не надавливают друг на друга.

Гипотезу плоских сечений и допущение называют гипотезой Бернулли.

Рассмотрим балку прямоугольного поперечного сечения, испытывающую чистый изгиб (изображение гипотеза плоских сечений изгиб сопромат). Выделим элемент балки длиной изображение гипотеза плоских сечений изгиб сопромат(рис. 7.8. а). В результате изгиба поперечные сечения балки повернутся, образовав угол изображение гипотеза плоских сечений изгиб сопромат. Верхние волокна испытывают сжатие, а нижние растяжение. Радиус кривизны нейтрального волокна обозначим изображение гипотеза плоских сечений изгиб сопромат.

Условно считаем, что волокна изменяют свою длину, оставаясь при этом прямыми (рис. 7.8. б). Тогда абсолютное и относительное удлинения волокна, отстоящего на расстоянии y от нейтрального волокна:

изображение гипотеза плоских сечений изгиб сопромат

По закону Гука:

изображение гипотеза плоских сечений изгиб сопромат

Покажем, что продольные волокна, не испытывающие при изгибе балки ни растяжения, ни сжатия, проходят через главную центральную ось x.

Поскольку длина балки при изгибе не изменяется, продольное усилие (N), возникающее в поперечном сечении, должно равняться нулю. Элементарное продольное усилие изображение гипотеза плоских сечений изгиб сопромат.

изображение гипотеза плоских сечений изгиб сопромат

С учетом выражения изображение гипотеза плоских сечений изгиб сопромат:

изображение гипотеза плоских сечений изгиб сопромат

изображение гипотеза плоских сечений изгиб сопромат Множитель изображение гипотеза плоских сечений изгиб сопроматможно вынести за знак интеграла (не зависит от переменной интегрирования).

изображение гипотеза плоских сечений изгиб сопромат

Выражение представляет статический момент инерции поперечного сечения балки относительно нейтральной оси x. Он равен нулю, когда нейтральная ось проходит через центр тяжести поперечного сечения. Следовательно, нейтральная ось (нулевая линия) при изгибе балки проходит через центр тяжести поперечного сечения.

Очевидно: изгибающий момент связан с нормальными напряжениями, возникающими в точках поперечного сечения стержня. Элементарный изгибающий момент, создаваемый элементарной силой изображение гипотеза плоских сечений изгиб сопромат:

изображение гипотеза плоских сечений изгиб сопромат,

изображение гипотеза плоских сечений изгиб сопромат

где изображение гипотеза плоских сечений изгиб сопромат– осевой момент инерции поперечного сечения относительно нейтральной оси x, а отношение изображение гипотеза плоских сечений изгиб сопромат - кривизна оси балки.

изображение гипотеза плоских сечений изгиб сопромат - жесткость балки при изгибе (чем больше, тем меньше радиус кривизны изображение гипотеза плоских сечений изгиб сопромат).

Полученная формула изображение гипотеза плоских сечений изгиб сопроматпредставляет собой закон Гука при изгибе для стержня: изгибающий момент, возникающий в поперечном сечении, пропорционален кривизне оси балки.

Выражая из формулы закона Гука для стержня при изгибе радиус кривизны (изображение гипотеза плоских сечений изгиб сопромат) и подставляя его значение в формулу изображение гипотеза плоских сечений изгиб сопромат, получим формулу для нормальных напряжений (изображение гипотеза плоских сечений изгиб сопромат) в произвольной точке поперечного сечения балки, отстоящей на расстоянии y от нейтральной оси x: изображение гипотеза плоских сечений изгиб сопромат.

В формулу для нормальных напряжений (изображение гипотеза плоских сечений изгиб сопромат) в произвольной точке поперечного сечения балки следует подставлять абсолютные значения изгибающего момента (изображение гипотеза плоских сечений изгиб сопромат) и расстояния от точки до нейтральной оси (координаты y). Будет ли напряжение в данной точке растягивающим или сжимающим легко установить по характеру деформации балки или по эпюре изгибающих моментов, ординаты которой откладываются со стороны сжатых волокон балки.

Из формулы изображение гипотеза плоских сечений изгиб сопроматвидно: нормальные напряжения (изображение гипотеза плоских сечений изгиб сопромат) изменяются по высоте поперечного сечения балки по линейному закону. На рис. 7.8, в показана эпюра нормальных напряжений. Наибольшие напряжения при изгибе балки возникают в точках, наиболее удаленных от нейтральной оси. Если в поперечном сечении балки провести линию, параллельную нейтральной оси x, то во всех ее точках возникают одинаковые нормальные напряжения.

Несложный анализ эпюры нормальных напряжений показывает, при изгибе балки материал, расположенный вблизи нейтральной оси, практически не работает. Поэтому в целях снижения веса балки рекомендуется выбирать такие формы поперечного сечения, у которых большая часть материала удалена от нейтральной оси, как, например, у двутаврового профиля.



Еще лекции по теме Прямой изгиб сопромат: