Заработок на дому набором текстов

Лекция Эйлерова нагрузка, формула Эйлера

Эйлерова нагрузка, формула Эйлера

Л. Эйлер получил формулу для определения теоретической нагрузки (Эйлерова нагрузка), при которой происходит потеря устойчивости стержня. Формула Эйлера: изображение Формула Эйлера сопромат, где Е – модуль Юнга; изображение Формула Эйлера сопромат– минимальный главный центральный момент инерции поперечного сечения стержня (очевидно, что при потере устойчивости изгиб стержня произойдет в плоскости наименьшей изгибной жесткости); изображение Формула Эйлера сопромат– коэффициент приведения длины, зависящий от формы потери устойчивости; l – длина стержня. Произведение изображение Формула Эйлера сопромат- приведенная длина стержня.

Формула Эйлера для шарнирно-опертого стержня, сжатого по концам

Для шарнирно опертого стержня, сжатого по концам, формула Эйлера для определения критической нагрузки: изображение Формула Эйлера сопромат(коэффициент приведения длины изображение Формула Эйлера сопромат).

Основной случай потери устойчивости – случай, когда при закреплении концов стержня и приложении нагрузки форма потери устойчивости представляет собой одну полуволну синусоиды (рис. 12.2, а).

Некоторые другие способы закрепления концов стержня (нагрузка по-прежнему приложена по торцам) легко могут быть приведены к основному случаю потери устойчивости путем сопоставления формы изогнутой оси с формой потери устойчивости шарнирно опертого стержня.

изображение Формула Эйлера сопромат

Формула Эйлера для стержня с защемленным и свободным концами

При потере устойчивости стержень с жестко защемленным одним и свободным другим концом изогнется, как показано на (рис. 12.2, б). Форма потери устойчивости этого стержня представляет собой четверть синусоиды. Приведенная длина равна изображение Формула Эйлера сопромат(полуволна синусоиды имеет длину изображение Формула Эйлера сопромат), а эйлерова сила в четыре раза меньше, чем для основного случая. Формула Эйлера для стержня с защемленным и свободным концами: изображение Формула Эйлера сопромат.

Формула Эйлера для стержня с защемленными концами

Для стержня, оба конца которого жестко защемлены, форма потери устойчивости такова, что одна полуволна синусоиды занимает половину длины стержня (рис. 12.2, в). Поэтому приведенная длина стержня равна изображение Формула Эйлера сопромат(изображение Формула Эйлера сопромат), а формула эйлеровой нагрузки изображение Формула Эйлера сопромат.

Критической (изображение Формула Эйлера сопромат) принято называть истинную, а эйлеровой (изображение Формула Эйлера сопромат) – теоретическую нагрузку, при которой происходит потеря устойчивости стержня.

Формула Эйлера получена из предположения, что в момент потери устойчивости напряжения сжатия в стержне не превышают предела пропорциональности изображение Формула Эйлера сопромат: изображение Формула Эйлера сопромат. Модуль Юнга (Е) в формуле Эйлера изображение Формула Эйлера сопроматсвидетельствует о том, что вплоть до момента потери устойчивости выполнялся закон Гука. Если потеря устойчивости происходит при напряжении меньшем, чем изображение Формула Эйлера сопромат, то изображение Формула Эйлера сопромат.

Для стержней, теряющих устойчивость при напряжении, превышающем предел пропорциональности (изображение Формула Эйлера сопромат), использование формулы Эйлера принципиально неправильно и крайне опасно, поскольку критическая нагрузка (истинная нагрузка, при которой происходит потеря устойчивости) меньше эйлеровой нагрузки: изображение Формула Эйлера сопромат.

Пределы применимости формулы Эйлера

Пределы применимости формулы Эйлера можно установить, предварительно введя понятие гибкости стержня. Определим эйлеровы напряжения, исходя из формулы Эйлера:

изображение Формула Эйлера сопромат.

Здесь изображение Формула Эйлера сопромат– минимальный радиус инерции; изображение Формула Эйлера сопромат–гибкость сжатого стержня: изображение Формула Эйлера сопромат. Величину в правой части неравенства обозначим изображение Формула Эйлера сопромат и назовем предельной гибкостью. Тогда изображение Формула Эйлера сопромат. В отличие от гибкости стержня, предельная гибкость зависит только от физико-механических свойств материала и не зависит от размеров. Предельная гибкость – постоянная для данного материала величина. Например, для стали Ст. 3 изображение Формула Эйлера сопромат.

Используя понятие предельной гибкости, пределы применимости формулы Эйлера можно представить в виде: изображение Формула Эйлера сопромат.

Формула Эйлера дает истинное значение нагрузки, при которой происходит потеря устойчивости стержня в случае, когда гибкость рассчитываемого стержня больше или равна предельной гибкости для материала, из которого он изготовлен.



Еще лекции по теме Устойчивость стержней сопромат: