Заработок на дому набором текстов

Лекция Теорема о взаимности работ (теорема Бетти)

Теорема о взаимности работ (теорема Бетти)

Формулировка теоремы о взаимности работ (теоремы Бетти), доказанная в 1872 г Э. Бетти: возможная работа сил первого состояния на соответствующих перемещениях, вызванных силами второго состояния, равна возможной работе сил второго состояния на соответствующих перемещениях, вызванных силами первого состояния.

изображение теорема взаимности работ сопромат

Доказательство теоремы о взаимности работ

Наметим на балке две точки 1 и 2 (рис. 15.4, а).

Приложим статически в точке 1 силу изображение теорема взаимности работ сопромат. Она вызовет в этой точке прогиб изображение теорема взаимности работ сопромат, а в точке 2 – изображение теорема взаимности работ сопромат.

Для обозначения перемещений мы используем два индекса. Первый индекс означает место перемещения, а второй – причину, вызывающую это перемещение. То есть, почти как на конверте письма, где мы указываем: куда и от кого.

Так, например, изображение теорема взаимности работ сопроматозначает прогиб балки в точке 2 от нагрузки изображение теорема взаимности работ сопромат.

После того, как закончен рост силы изображение теорема взаимности работ сопромат. приложим в точке 2 к деформированному состоянию балки статическую силу изображение теорема взаимности работ сопромат(15.4, б). Балка получит дополнительные прогибы: изображение теорема взаимности работ сопроматв точке 1 и изображение теорема взаимности работ сопроматв точке 2.

Составим выражение для работы, которую совершают эти силы на соответствующих им перемещениях: изображение теорема взаимности работ сопромат.

Здесь первое и третье слагаемые представляют собой упругие работы сил изображение теорема взаимности работ сопромати изображение теорема взаимности работ сопромат. Согласно теореме Клапейрона, они имеют коэффициент изображение теорема взаимности работ сопромат. У второго слагаемого этого коэффициента нет, поскольку сила изображение теорема взаимности работ сопроматсвоего значения не изменяет и совершает возможную работу на перемещении изображение теорема взаимности работ сопромат, вызванном другой силой изображение теорема взаимности работ сопромат.

Изменим теперь порядок нагружения балки. Сначала прикладываем к балке силу изображение теорема взаимности работ сопромат, а затем изображение теорема взаимности работ сопромат(рис. 15.4, в, г).

Тогда работа изображение теорема взаимности работ сопромат.

Очевидно, что изображение теорема взаимности работ сопромат. Из этого равенства следует теорема Бетти: изображение теорема взаимности работ сопромат.

Заметим, что теорема Бетти о взаимности работ справедлива как для случая внешних, так и для случая внутренних сил.



Еще лекции по теме Общие теоремы сопромат: