Заработок на дому набором текстов

Лекция Определение прогибов и углов поворотов методом Мора

Определение прогибов и углов поворотов методом Мора

изображение Интеграл Мора сопроматИнтеграл Мора позволяет определять прогибы и углы поворота заданного сечения балки, используя интегральное исчисление. Хотя данный метод предпочтительнее метода начальных параметров, он неудобен из-за необходимости вычисления интеграла. Из интеграла Мора был получен удобное для практического применения правило Верещагина, при котором не нужно вычислять интегралы, а только нужно находить площадь и центр тяжести эпюр.

Получение формулы интеграла Мора

Рассмотрим балку, изображенную на рис. 15.6, а. Обозначим изображение Интеграл Мора сопромати изображение Интеграл Мора сопромат, соответственно, изгибающий момент и поперечную силу, возникающие в заданной балке от действующей на нее группы нагрузок P. Пусть требуется определить прогиб балки (изображение Интеграл Мора сопромат) в точке K.

Введем в рассмотрение вспомогательную балку (та же балка, но нагруженная только единичной силой либо единичным изгибающим моментом). Нагрузим ее только одной силой изображение Интеграл Мора сопромат(рис. 15.6, б). Единичную силу приложим в точке K, где нужно определить прогиб.

Внутренние усилия, возникающие во вспомогательной балке, обозначим изображение Интеграл Мора сопромати изображение Интеграл Мора сопромат.

Воспользуемся теперь теоремой о взаимности работ, согласно которой работа внешних сил, приложенных к вспомогательной балке на соответствующих перемещениях заданной балки равна взятой с обратным знаком работе внутренних сил заданной балки на соответствующих перемещениях вспомогательной балки. Тогда изображение Интеграл Мора сопромат.

При определении перемещений в балке, как правило, можно пренебрегать влиянием поперечной силы, ( не учитывать второе слагаемое).

Тогда, учитывая, что изображение Интеграл Мора сопромат, окончательно получим формулу интеграла Мора: изображение Интеграл Мора сопромат.

Определение перемещений по формуле интеграла Мора часто называют определением перемещений методом Мора, а саму формулу – интегралом Мора.

Входящие в интеграл Мора изгибающие моменты берутся в произвольном поперечном сечении и поэтому представляют собой аналитические функции от текущей координаты z.

Заметим, что если мы хотим в этой же точке K определить угол поворота поперечного сечения (изображение Интеграл Мора сопромат), то нам необходимо к вспомогательной балке приложить не единичную силу, а единичный момент изображение Интеграл Мора сопромат(рис. 15.6, в).

порядок вычисления перемещений методом Мора:

· к вспомогательной балке в той точке, где требуется определить перемещение, прикладываем единичное усилие. При определении прогиба прикладываем единичную силу изображение Интеграл Мора сопромат, а при определении угла поворота – единичный момент изображение Интеграл Мора сопромат;

· для каждого участка балки составляем выражения для изгибающих моментов заданной (изображение Интеграл Мора сопромат) и вспомогательной (изображение Интеграл Мора сопромат) балок;

· вычисляем интеграл Мора для всей балки по соответствующим участкам;

· если вычисленное перемещение имеет положительный знак, то это означает, что его направление совпадает с направлением единичного усилия. Отрицательный знак указывает на то, что действительное направление искомого перемещения противоположно направлению единичного усилия.

Вычисление интеграла Мора пример

Пусть для шарнирно опертой балки постоянной изгибной жесткости изображение Интеграл Мора сопромат, длиной l, нагруженной равномерно распределенной нагрузкой интенсивностью q (рис. 15.7, а), требуется определить прогиб посредине пролета (изображение Интеграл Мора сопромат) и угол поворота на левой опоре (изображение Интеграл Мора сопромат).

определение прогиба с помощью интеграла Мора

В том месте, где нам нужно определить прогиб, к вспомогательной балке прикладываем единичную силу изображение Интеграл Мора сопромат(рис. 15.7, б).

изображение Интеграл Мора сопромат Записываем выражения для изгибающих моментов для каждого из двух участков (изображение Интеграл Мора сопромат) заданной и вспомогательной балок:

изображение Интеграл Мора сопромат.

изображение Интеграл Мора сопромат.

Вычисляем интеграл Мора. Учитывая симметрию балки, получим:

изображение Интеграл Мора сопромат.

Определение угла поворота методом Мора

Нагружаем вспомогательную балку единичным моментом изображение Интеграл Мора сопромат, прикладывая его в том месте, где мы ищем угол поворота (рис. 15.7, в).

Записываем выражения для изгибающих моментов в заданной и вспомогательной балках только для одного участка (изображение Интеграл Мора сопромат):

изображение Интеграл Мора сопромат;

изображение Интеграл Мора сопромат.

Тогда интеграл Мора будет иметь вид:

изображение Интеграл Мора сопромат.

Положительный знак в выражении для угла поворота поперечного сечения балки указывает на то, что поворот сечения происходит по направлению единичного момента изображение Интеграл Мора сопромат.



Еще лекции по теме Общие теоремы сопромат: